http://www.hyuki.com/d/200706.html#i20070613102030
無限にルートを入れ子にしていったらいくつになるかという、結城さんの出題にチャレンジ。
これは、
と表現できる。もちろんnは無限大。これを指数法則に従って書き換えると
となる。で、指数部分に注目すると、これは初項1/2、公比1/2の無限等比級数。これは1に収束するので、指数部分は1になる。すると21なので、答えは2になりました。
ルートの入れ子の部分を指数に分解できると気付けば簡単に解けるが、そこに気付くまで思った以上に時間かかってしまった。ん、そこは現役じゃないので仕方ないか。しかし、こういうので頭をほぐすのは面白いわ。学生時代はオモシロイなんて思った事なかったのにな〜。
追記:混乱中
一瞬で解けるってのは 収束した数をAとすると
であって
だよ、って事?あれ〜、すると入れ子の数をnとしてanと表すと
...
だから、nが無限大のときは
無限ということは、∞番目も∞-1番目もどっちも同じなんですかね。1 = 0.9999...もそうだけど、無限って普通のヒトには直感的じゃないよね。