ルートの入れ子

http://www.hyuki.com/d/200706.html#i20070613102030
無限にルートを入れ子にしていったらいくつになるかという、結城さんの出題にチャレンジ。
\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2.....}}}}
これは、
2^{\frac{1}{2}} 2^{\frac{1}{4}} 2^{\frac{1}{8}} .... 2^{\frac{1}{n^2}}
と表現できる。もちろんnは無限大。これを指数法則に従って書き換えると
2^{(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + .... + \frac{1}{n^2})}
となる。で、指数部分に注目すると、これは初項1/2、公比1/2の無限等比級数。これは1に収束するので、指数部分は1になる。すると21なので、答えは2になりました。

ルートの入れ子の部分を指数に分解できると気付けば簡単に解けるが、そこに気付くまで思った以上に時間かかってしまった。ん、そこは現役じゃないので仕方ないか。しかし、こういうので頭をほぐすのは面白いわ。学生時代はオモシロイなんて思った事なかったのにな〜。


追記:混乱中

一瞬で解けるってのは 収束した数をAとすると
A = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2.....}}}}
であって
2A = 2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2.....}}}}
A^2 = 2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2.....}}}}
A = \sqrt{2A}
だよ、って事?あれ〜、すると入れ子の数をnとしてanと表すと
a_1 = \sqrt{2}
a_2 = \sqrt{2a_1}
a_3 = \sqrt{2a_2}
...
a_n = \sqrt{2a_{n-1}}
だから、nが無限大のときは
a_n = a_{n-1}
無限ということは、∞番目も∞-1番目もどっちも同じなんですかね。1 = 0.9999...もそうだけど、無限って普通のヒトには直感的じゃないよね。